Question

10．函數f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$的值域為（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （-∞，2]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 由題意：函數f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$是復合函數，令x²-2x=t可得出函數f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$是減函數，由單調性即可求值域．

解答 解：由題意：函數f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$是復合函數，
令x²-2x=t
則：函數f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$是減函數，
∵x²-2x=t的值域為[-1，+∞）
∴當t=-1時，
函數f（x）=$（\frac{1}{2}）^{t}$取得最大值為2；
∴函數f（x）=（${\frac{1}{2}}$）${\;}^{{x^2}-2x}}$的值域為（0，2]．
故選D．

點評 本題考查了指數函數的單調性和復合函數的值域的求法．屬于中檔題．