Question

將n²個數(shù)排成n行n列的一個數(shù)陣：
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
…
a_n1a_n2a_n3…a_nn
已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，該數(shù)陣第一列的n個數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列，每一行的n個數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列，其中m為正實數(shù)．
（1）求第i行第j列的數(shù)a_ij；
（2）求這n²個數(shù)的和．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1”得到方程：2m²=2+5m+1，解之即得m=3或m=-

1

2

（舍去）．從而即可求得a_ij．
（2）這n²個數(shù)的和為：S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）再結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可解決問題．

解答：解：（1）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1得2m²=2+5m+1，
解得m=3或m=-

1

2

（舍去）．
a_ij=a_i1•3^j-1=[2+（i-1）m]3^j-1=（3i-1）3^j-1．
（2）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）
=

a11(1-3n)

1-3

+

a21(1-3n)

1-3

+…+

an_1

(

1-3n)
=

1

2

（3ⁿ-1）•

(2+3n-1)n

2

=

1

4

n（3n+1）（3ⁿ-1）．

點評：本題主要考查了分析問題的能力，解答的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列的求和公式計算求解．