Question

將n²個數排成n行n列的一個數陣：
a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n
a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n
a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n
…
a_n1a_n2a_n3…a_nn
已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，該數陣第一列的n個數從上到下構成以m為公差的等差數列，每一行的n個數從左到右構成以m為公比的等比數列，其中m為正實數．
（1）求第i行第j列的數a_ij；
（2）求這n²個數的和．

Answer 1

（1）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1得2m²=2+5m+1，
解得m=3或m=-

1

2

（舍去）．
a_ij=a_i1•3^j-1=[2+（i-1）m]3^j-1=（3i-1）3^j-1．
（2）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）
=

a11(1-3n)

1-3

+

a21(1-3n)

1-3

+…+

an_1

(

1-3n)
=

1

2

（3ⁿ-1）•

(2+3n-1)n

2

=

1

4

n（3n+1）（3ⁿ-1）．