Question

已知A，B，P為橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1(m，n＞0)上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA•kPB=-

3

2

，則該橢圓的離心率為

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得A，B一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用直線PA，PB的斜率乘積，可尋求幾何量之間的關(guān)系，從而可求離心率．

解答：解：∵A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴A，B一定關(guān)于原點(diǎn)對稱，
設(shè)A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），P（x，y）
∴k_PA•k_PB=

y1-y

x1-x

×

-y1-y

-x1-x

=

y2-y12

x2-x12

∵

x2

m2

+

y2

n2

=1，

x12

m2

+

y12

n2

=1
∴兩方程相減可得

y2-y12

x2-x12

=-

n2

m2

∵kPA•kPB=-

3

2

，
∴-

n2

m2

=-

3

2

∴

m2

n2

=

2

3

∴

n2-m2

n2

=

1

3

∴e=

3

3

．
故答案為

3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)差法，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)代入化簡，應(yīng)注意橢圓幾何量之間的關(guān)系．