Question

【題目】如圖，把等腰直角三角形沿斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)至的位置，使.

(1)求證:平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，可得得，根據(jù)三角形中的幾何關(guān)系，得到，從而得到，所以得到平面，再得到平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，再在直角三角形中，得到，從而得到二面角的余弦值.

（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，

是等腰直角三角形， ，且.

連接，同理得，且，

，.

，，

為等腰直角三角形，，

又，平面，

平面.

又平面，

∴平面平面.

（2）取的中點(diǎn)，連接.

易知為等邊三角形， .

又為等腰直角三角形，.

為二面角的平面角.

由（1）知，，

且平面，，

所以平面，平面，

.

為直角三角形.

設(shè)，則，

所以，

則，

，

即二面角的余弦值為.