Question

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求過(guò)點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球的表面積；

（2）求直線到平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

試題分析：（1）首先由四面體的體積可以求出高.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030604405708401783/SYS201403060441597402250795_DA.files/image006.png">兩兩垂直，所以以為同一頂點(diǎn)的三條棱構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球即為過(guò)點(diǎn)P，C，B，G四點(diǎn)的球，其直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

（2）由于面面，所以只需在面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作交線BG的垂線，即可得PD在面PBG內(nèi)的射影，從而得PD與面PBG所成的角. （3）首先假設(shè)存在，然后確定的位置，若能在上找到點(diǎn)使則說(shuō)明這樣的點(diǎn)F存在.與是異面的兩條直線，我們通過(guò)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化這相交的兩條直線的垂直問(wèn)題.那么如何轉(zhuǎn)化？過(guò)作交GC于，則只要即可.這樣確定的位置容易得多了.

試題解析：（1）由四面體的體積為.∴.

以構(gòu)造長(zhǎng)方體，外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線。

∴∴

∴                3分

（2）由

∴為等腰三角形，GE為的角平分線，作交BG的延長(zhǎng)線于K,

∴

由平面幾何知識(shí)可知： ，.設(shè)直線與平面所成角為

∴                      8分

（3）假設(shè)存在，過(guò)作交GC于，則必有.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030604405708401783/SYS201403060441597402250795_DA.files/image033.png">，且，所以，又.

∴當(dāng)時(shí)滿足條件                    12分

考點(diǎn)：1、多面體的外接球及其表面積；2、線線與平面所成的角；3、異面直線的垂直.