Question

【題目】在三棱錐中，平面平面，，．設D，E分別為PA，AC中點．

（Ⅰ）求證：平面PBC；

（Ⅱ）求證：平面PAB；

（Ⅲ）試問在線段AB上是否存在點F，使得過三點D，E，F的平面內的任一條直線都與平面PBC平行？若存在，指出點F的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）證明以DE∥平面PBC，只需證明DE∥PC；（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB，根據線面垂直的判定定理，只需證明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）當點F是線段AB中點時，證明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行．

（Ⅰ）證明：因為點E是AC中點，點D為PA的中點，所以．

又因為DE面PBC，PC面PBC，

所以DE∥平面PBC．

（Ⅱ）證明：因為平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA平面PAC，PA⊥AC，

所以PA⊥面ABC，

因為BC平面ABC，

所以PA⊥BC．

又因為AB⊥BC，且PA∩AB=A，

所以BC⊥面PAB．

（Ⅲ）

當點F是線段AB中點時，過點D，E，F的平面內的任一條直線都與平面PBC平行．

取AB中點F，連EF，連DF．

由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．

因為點E是AC中點，點F為AB的中點，

所以EF∥BC．

又因為EF平面PBC，BC平面PBC，

所以EF∥平面PBC．

又因為DE∩EF=E，

所以平面DEF∥平面PBC，

所以平面DEF內的任一條直線都與平面PBC平行．

故當點F是線段AB中點時，過點D，E，F所在平面內的任一條直線都與平面PBC平行．