Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離的比值為2，點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C．

（1）求曲線(xiàn)C的軌跡方程

（2）過(guò)點(diǎn)（﹣1，0）作直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（4，0），求△ABM面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理可得所求軌跡方程；

（2）由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，求得到直線(xiàn)的距離，以及弦長(zhǎng)公式，和三角形的面積公式，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值可得所求．

（1）設(shè)點(diǎn)，,即，

，即，

曲線(xiàn)的方程為．

（2）由題意可知，直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，

由（1）可知，點(diǎn)是圓的圓心，

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，由得，即，

又，

所以，

令，所以，，

則，

所以，

當(dāng)，即，此時(shí)，符合題意，

即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.