Question

（2011•大同一模）已知函數f（x）=sin（2x-

π

6

）-2cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）+1，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期：
（2）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：利用兩角差的正弦函數以及兩角和與差的圓心函數化簡函數的表達式，通過輔助角公式化為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用周期公式求出函數的周期．
（2）結合x的范圍直接求出函數的值域．

解答：解：函數f（x）=sin（2x-

π

6

）-2cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）+1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-2(

2

2

cosx+

2

2

sinx)(

2

2

cosx-

2

2

sinx)+1
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x +1
=

3

sin(2x-

π

3

) +1．
（1）f（x）的最小正周期為：π；
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

) ≤1，
所以

3

sin(2x-

π

3

) +1∈[-

1

2

，

3

+1]；
故函數的值域為：[-

1

2

，

3

+1]

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，輔助角公式的應用，正確利用三角函數的基本公式，是解好數學問題的關鍵．