Question

16．某園林基地培育了一種新觀賞植物，經過了一年的生長發育，技術人員從中抽取了部分植株的高度（單位：厘米）作為樣本（樣本容量為n）進行統計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分組做出頻率分布直方圖，并作出樣本高度的莖葉圖（圖中僅列出了高度在[50，60），[90，100]的數據）．

（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y
（2）在選取的樣本中，從高度在80厘米以上（含80厘米）的植株中隨機抽取3株，設隨機變量X表示所抽取的3株高度在[80，90）內的株數，求隨機變量X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．
（2）由題意可知，高度在[80，90）內的株數為5，高度在[90，100]內的株數為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內的株數X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由題意可知，
樣本容量$n=\frac{8}{0.016×10}=50，y=\frac{2}{50×10}=0.004$，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．（4分）
（2）由題意可知，高度在[80，90）內的株數為5，高度在[90，100]內的株數為2，
共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內的株數X的可能取值為1，2，3，（5分）
則P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{7}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^2C_2^1}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$，
$P（X=3）=\frac{C_5^3C_2^0}{C_7^3}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$，（8分）
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{2}{7}$

（10分）
故E（X）=$1×\frac{1}{7}+2×\frac{4}{7}+3×\frac{2}{7}$=$\frac{15}{7}$．（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，涉及到平均數、方差、離散型隨機變量的分布列及數學期望等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．