【題目】已知函數(shù)
，
，
為
的導(dǎo)函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若
，當(dāng)
時，求證：
有兩個零點.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；
【解析】
（1）結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對
進行分類討論，分為
，
，
，
幾種情形，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果可得
的單調(diào)性，易得1為函數(shù)一個零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點判定定理可求結(jié)果.
（1）
①當(dāng)時，令
，得
，令
，得
，
所以
在
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減；
②當(dāng)
時，令
，得
，
，
i）當(dāng)時，
，所以
在
上單調(diào)遞增；
ii）當(dāng)時，令，得
或；令，得
，
所以在
和單調(diào)遞增，在
單調(diào)遞減；
iii）當(dāng)時，令，得或
；令，得
，
所以在和
單調(diào)遞增，在
單調(diào)遞減；
綜上：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；
②i）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
ii）當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
iii）當(dāng)時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）
因為
，所以
是函數(shù)
的一個零點，
由（1）知時，在單調(diào)遞減，所以
，
又因為
，所以
，
所以在
上恰有一個零點，
所以當(dāng)時有兩個零點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
；
（l）判斷函數(shù)
是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；
（2）討論在
上函數(shù)的零點個數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中，
，
，
，D為線段BC（端點除外）上一動點.現(xiàn)將
沿線段AD折起至
，使二面角
的大小為120°，則在點D的移動過程中，下列說法錯誤的是（ ）
A.不存在點
，使得
B.點
在平面
上的投影軌跡是一段圓弧
C.
與平面所成角的余弦值的取值范圍是
D.線段
的最小值是
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為
，且在極坐標(biāo)下點P
.
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若
，證明：
；
（2）若
時，都有
，求實數(shù)a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
，其中
．
（1）若滿足
．
①當(dāng)
，且
時，求
的值；
②若存在互不相等的正整數(shù)
，滿足
，且
成等差數(shù)列，求
的值．
（2）設(shè)數(shù)列的前
項和為
，數(shù)列
的前n項和為
，
，，若，
，且
恒成立，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知如圖所示的三棱錐D﹣ABC的四個頂點均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=
，BC=CD=BD=2，則球O的表面積為（ ）
A．4π B．12π C．16π D．36π
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實驗，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)
與燒開一壺水所用時間
的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.
|
|
|
|
|
|
|
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根據(jù)散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒開一壺水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于
的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量
成正比，那么為多少時燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數(shù)據(jù)
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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