Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若

AC

•

BC

=-1，則sin(α+

π

4

)的值為（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由A，B，C的坐標求出

AC

和

BC

，根據平面向量數量積的運算法則及同角三角函數間的基本關系化簡

AC

•

BC

=-1得到sinα+cosα的和，然后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值即可求出sin（α+

π

4

）的值．

解答：解：∵

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

AC

•

BC

=（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1
得cos²α+sin²α-3（cosα+sinα）=-1
∴sinα+cosα=

2

3

，
故sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

2

×

2

3

=

2

3

故選B

點評：此題考查學生掌握平面向量的數量積的運算，靈活運用兩角和的正弦函數公式、同角三角函數間的基本關系及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．