Question

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
(1)若

AC

•

BC

=-1，求sin(α+

π

4

)的值；(2)O為坐標原點，若|

OA

-

OC

|=

13

，且α∈(0，π)，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據已知中A，B，C三點的坐標，我們易求出向量

AC

，

BC

的坐標，根據

AC

•

BC

=-1，我們易得到一個三角方程，解方程即可得到sin（α+

π

4

）的值．
（2）根據向量減法的三角形法則，我們易將|

OA

-

OC

|=

13

轉化為|

AC

|=

13

，結合（1）中結論，易構造出關于α的三角方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）；
∴

AC

=（cosα-3，sinα）；

BC

=（cosα，sinα-3）；
∴

AC

•

BC

=cos²α+sin²α-3（sinα+cosα）
=1-3（sinα+cosα）=1-3

2

sin（α+

π

4

）=-1
∴sin（α+

π

4

）=

2

3

（2）∵|

OA

-

OC

|=|

CA

|=|

AC

|
=

cos2α+sin2α-6cosα+9

=

10-6cosα

=

13

∴cosα=-

1

2

又∵α∈（0，π）
∴α=

2π

3

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，同角三角函數關系，輔助角公式，三角函數給值求角，其中根據平面向量數量積運算公式，將問題轉化為三角函數問題是解答問題的關鍵．