Question

【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線上的點(diǎn)滿足．過點(diǎn)作直線垂直于線段交于點(diǎn)．

（ⅰ）證明：恒過定點(diǎn)；

（ⅱ）設(shè)線段交于點(diǎn)，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.

【解析】

（1）設(shè)，則，根據(jù)向量關(guān)系坐標(biāo)化可得，消去可得軌跡的方程；

（2）（ⅰ）設(shè)，根據(jù)直線垂直，向量的數(shù)量積為0可得：，設(shè)直線方程為，化簡即可得到直線過定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）根據(jù)直線與圓相交的弦長公式求出，，再根據(jù)對角線相乘的半，求得四邊形的面積.

（1）設(shè)，則

∵，又，，

∴

又，∴，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為

（2）（ⅰ）設(shè)，

∵，∴

又，∴ ①

又直線過點(diǎn)且垂直于線段，故設(shè)直線方程為

化簡得，又由①式可得，所以恒過定點(diǎn)

（ⅱ）直線為，交圓于兩點(diǎn)

則圓心到直線的距離為，

∴弦長，

又直線為，由得，

故，

∴，即四邊形的面積