Question

一只口袋中裝有8個乒乓球，其中4個是舊球．現進行兩輪摸球活動，每輪隨機地從這8個球中摸取2個，第一輪結束后將所摸的球（看成舊球）重新放回口袋，拌勻后再進行第二輪摸球．
（1）設第一輪摸到新球的個數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（2）求第二輪恰好摸到一個新球的概率．

Answer 1

分析：（1）確定ξ的可能取值，求出相應的概率，即可求摸出黑球個數ξ的分布列和數學期望．
（2）分三種情況討論，（i）當第1輪摸到的是兩只舊球時，（ii）當第1輪摸到的是一只舊球一只新球時，（iii）當第1輪摸到的是兩只新球時，分別求出它們的概率，最后利用互斥事件的加法公式即可得出第二輪恰好摸到一個新球的概率．

解答：解：（1）ξ的可能取值為0，1，2，3，
則P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

4

7

，P（ξ=2）=

C 2 4

C 2 8

=

3

14

，
∴隨機變量X的分布列如下：

ξ	0	1	2
P	3 14	4 7	3 14

則隨機變量X的數學期望為Eξ=0×

3

14

+1×

4

7

+2×

3

14

=1；
（2）分三種情況討論：
（i）當第1輪摸到的是兩只舊球時，第二輪恰好摸到一個新球的概率為P₁=

3

14

×

C 1 4 C 1 4

C 2 8

=

6

49

；
（ii）當第1輪摸到的是一只舊球一只新球時，第二輪恰好摸到一個新球的概率為P₂=

4

7

×

C 1 3 C 1 5

C 2 8

=

15

49

；
（iii）當第1輪摸到的是兩只新球時，第二輪恰好摸到一個新球的概率為P₃=

3

14

×

C 1 2 C 1 6

C 2 8

=

9

98

；
綜上所述，第二輪恰好摸到一個新球的概率為P=P₁+P₂+P₃=

6

49

+

15

49

+

9

98

=

51

98

．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．