Question

數列{a_n}滿足a1=

3

2

，an+1=an2-an+1(n∈N*)，則m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2010

的整數部分是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由題設知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），從而可得

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，通過累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2010

=

1

a1-1

-

1

a2011-1

=2-

1

a2011-1

，由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，可得a₂₀₁₁≥a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₃＞2，從而可得0＜

1

a2011-1

＜1，所以1＜m＜2，故可得m的整數部分．

解答：解：由題設知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1-1

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通過累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2010

=

1

a1-1

-

1

a2011-1

=2-

1

a2011-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，
由a₁=

3

2

，得a₂=

7

4

，∴a₃=2

16

5

．
∴a₂₀₁₁≥a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₃＞2，
∴0＜

1

a2011-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整數部分為1．
故選B．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地運用數列的遞推式．