Question

定義在（-1，1）的函數f（x），對于任意的x，y∈（-1，1），都有f(

x+y

1+xy

)=f(x)+f(y)，且x＞0時，f（x）＞0，f(

1

2

)=

1

2

（1）判斷f（x）的奇偶性并證明
（2）證明f（x）在區間（-1，1）上是增函數
（3）若f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷函數f（x）的奇偶性：①判斷函數定義域是否關于原點對稱，②判斷f（-x）與f（x）的關系．
（2）證明函數f（x）的單調性，利用定義，分五步①設元，②作差，③變形，④判號，⑤下結論．
（3）令x=y=

1

2

得：f（

4

5

）=1，由（2）知，f（x）在[-

4

5

，

4

5

]上是增函數，f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立?m²-2am≥0，a∈[-1，1]恒成立．構造函數g（a）=m²-2am，對所有的a∈[-1，1]，g（a）≥0成立即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）在區間（-1，1）上是奇函數．
證明：∵函數定義域為（-1，1），
令x=y=0得f（0）=0，
令y=-x，則有f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x），
所以函數f（x）在區間（-1，1）上是奇函數．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x2x1

），而x₂-x₁＞0，|x₁||x₂|＜1
∴1-x₁x₂＞0
∴

x2-x1

1-x2x1

＞0，又x＞0時，f（x）＞0，
∴f（

x2-x1

1-x2x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在區間（-1，1）上是增函數；
（3）∵f（

1

2

）=

1

2

，f（

x+y

1+xy

）=f（x）+f（y），
∴令x=y=

1

2

得：f（

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

）=2f（

1

2

）=1，即f（

4

5

）=1．
因為函數f（x）在（-1，1）上是增函數，故在[-

4

5

，

4

5

]上是增函數，
又f（

4

5

）=1，
f（x）＜m²-2am+1，對所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立?1＜m²-2am+1，對所有x∈[-

4

5

，

4

5

]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立．
記g（a）=m²-2am，對所有的a∈[-1，1]，g（a）＞0成立，
只需g（a）在[-1，1]上的最小值大于等于0．即g（-1）＞0；g（1）＞0．
解得：m＜-2或m＞2．
故m的取值范圍為m＜-2或m＞2．

點評：本題考查了抽象函數的奇偶性，單調性，突出考查函數單調性的證明，考查賦值法與構造函數思想，轉化思想的綜合運用，屬于難題．