Question

已知f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）證明函數f（x）在[-1，1]上單調遞增；
（2）解不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）；
（3）若f（x）≤t²-2at+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，m、n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，利用定義法能夠證明函數f（x）在[-1，1]上單調遞增．
（2）f（x+

1

2

）＜f（1-x）等價于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，由此能求出不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）的解集．
（3）由于f（x）為增函數，f（x）的最大值為f（1）=1，故f（x）≤t²-2at+1對a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，所以t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立，由此能求出實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）是定義在區間[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，
m、n∈[-1，1]，m+n≠0時，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
∴任取x₁，x₂∈[-1，1]，且x₂≥x₁，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

•（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數f（x）在[-1，1]上單調遞增．
（2）∵f（x+

1

2

）＜f（1-x），
∴

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

，解得0≤x＜

1

4

，
∴不等式f（x+

1

2

）＜f（1-x）的解集為[0，

1

4

）．
（3）由于f（x）為增函數，∴f（x）的最大值為f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1對a∈[-1，1]、x∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at+1≥1對任意a∈[-1，1]恒成立，
∴t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立，
把y=t²-2at看作a的函數，
由a∈[-1，1]，知其圖象是一條線段，
∴t²-2at≥0對任意a∈[-1，1]恒成立，
∴

t2-2×(-1)×t≥0 t2-2×1×t≥0

，即

t2+2t≥0 t2-2t≥0

，
解得t≤-2，或t=0，或t≥2．
故實數t的取值范圍是{t|t≤-2，或t=0，或t≥2}．

點評：本題考查函數的單調性的求法，考查不等式解集的求法，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意定義法、等價轉化思想、構造法的合理運用．