Question

設關于的方程有兩個實根，函數.

（1）求的值；

（2）判斷在區間的單調性，并加以證明；

（3）若均為正實數，證明：

 

Answer 1

（1）＋；（2）單調遞增；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）因為是方程的的兩個實根，利用韋達定理即可得到的解析式，求出進而即可求出的值；（2）利用導數及二次函數的圖像來討論導數的正負，即可判斷函數的單調性；（3）首先求出的取值范圍，然后根據函數的單調性判斷出函數值的取值范圍，把兩個函數值相減即可得到要證的結論.

試題解析：（1）∵是方程的兩個根， ∴，， 1分

∴，又，∴， 3分

即，同理可得

∴＋ 4分

（2）∵， 6分

將代入整理的 7分

又，∴在區間的單調遞增; 8分

（3）∵，

∴ 10分

由（2）可知，同理

12分

由（1）可知，，，

∴

∴ 14分

考點：函數與方程、函數的單調性、不等式的證明.