Question

如圖所示：邊長為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。

   （1）求BD和面BEF所成的角的余弦；

   （2）線段EF上是否存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，若存在，求EP與PF的比值；若不存在，說明理由。

	1,3,5

 

Answer 1

解析：1.先假設存在，再去推理，下結論： 2.運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據條件給出證明或計算。

答案：（1）因為AC、AD、AB兩兩垂直，建立如圖坐標系，

則B（2，0，0），D（0，0，2），

E（1，1，2），F（2，2，0），

則

設平面BEF的法向量

，則可取，

∴向量所成角的余弦為

。

即BD和面BEF所成的角的余弦。

   （2）假設線段EF上存在點P使過P、A、C三點的平面和直線DB垂直，不妨設EP與PF的比值為m，則P點坐標為

則向量，向量

所以。

 點評：本題考查了線線關系，線面關系及其相關計算，本題采用探索式、開放式設問方式，對學生靈活運用知識解題提出了較高要求。