Question

若對一切非零實數，已知函數y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函數，且滿足y=f(x)+f(x-

1

2

)≤0，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，可求得f（1），再令x=-1，y=-1可求得f（-1）；
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結合（1）的結論，即可判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（3）依題意，將已知關系式逆用f（xy）=f（x）+f（y），結合（2）中函數y=f（x）的奇偶性與在（0，+∞）上是增函數，即可求得x的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數y=f（x）（x≠0），滿足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函數；
（3）∵f（x）+f（x-

1

2

）=f[x（x-

1

2

）]≤0，偶函數y=f（x）在（0，+∞）上是增函數，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-

1

2

）|≤1，
∴-1≤x（x-

1

2

）≤1，
∴

2x2-x+2≥0① 2x2-x-2≤0②

，①的解集為R，
解②得

1- 17

4

≤x≤

1+ 17

4

，又x≠0．
∴x的取值范圍為：[

1- 17

4

，0）∪（0，

1+ 17

4

]．

點評：本題考查抽象函數及其應用，考查函數奇偶性與單調性的綜合，突出考查賦值法的應用，考查推理與運算能力，屬于中檔題．