Question

若對(duì)一切非零實(shí)數(shù)，已知函數(shù)y=f（x）（x≠0），滿(mǎn)足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1），f（-1），
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）若y=f（x），在（0，+∞）上是增函數(shù)，且滿(mǎn)足，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=1，可求得f（1），再令x=-1，y=-1可求得f（-1）；
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），結(jié)合（1）的結(jié)論，即可判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性；
（3）依題意，將已知關(guān)系式逆用f（xy）=f（x）+f（y），結(jié)合（2）中函數(shù)y=f（x）的奇偶性與在（0，+∞）上是增函數(shù)，即可求得x的取值范圍．
解答：解：（1）∵函數(shù)y=f（x）（x≠0），滿(mǎn)足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=2f（1），故f（1）=0；
再令x=y=-1得：f（1）=2f（-1）=0，故f（-1）=0；
（2）令y=-1，則f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
故f（x）是偶函數(shù)；
（3）∵f（x）+f（x-）=f[x（x-）]≤0，偶函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（-1）=f（1）=0，
∴|x（x-）|≤1，
∴-1≤x（x-）≤1，
∴，①的解集為R，
解②得≤x≤，又x≠0．
∴x的取值范圍為：[，0）∪（0，]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，突出考查賦值法的應(yīng)用，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．