Question

9．已知實數x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+2y+1≥0}\\{2x+y-1≤0}\end{array}\right.$，若直線y=k（x+1）把不等式組表示的平面區域分成上、下兩部分的面積比為1：2，則k=（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，根據面積比是1：2，即可確定k的值．

解答 解：作出不等式組對應平面區如圖（三角形ABC部分），A（0，1），B（1，-1），
∵直線y=k（x+1）過定點C（-1，0），
∴C點在平面區域ABC內，
∴點A到直線y=k（x+1）的距離d_上=$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
點B到直線y=k（x+1）的距離d_下=$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵直線y=k（x+1）把不等式組表示的平面區域分成上、下兩部分的面積比為1：2，
∴2×$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{1}{4}$
故選：A

點評 本題主要考查二元一次不等式組表示平面區域以及三角形的面積的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．