Question

設關(guān)于x的方程x²-mx-1=0 有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判斷f（x） 在區(qū)間（α，β） 上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若λ，μ 為正實數(shù)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）若α，β 是方程x²-mx-1=0 的兩個實根，由韋達定理我們易得到兩根之和與兩根之積，然后根據(jù)函數(shù)，我們可以求出f（α），f（β）的值，進而得到αf（α）+βf（β） 的值；
（2）方法一：任取α＜x₁＜x₂＜β，我們根據(jù)已知中函數(shù)的解析式，判斷f（x₁），f（x₂）的大小，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可得到結(jié)論；
方法二：根據(jù)已知函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)比例的性質(zhì)我們可以得到：，，然后根據(jù)（2）的結(jié)論，易得，． 進而根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）∵α，β 是方程x²-mx-1=0 的兩個實根，∴．
∴，…（3分）
同理，
∴αf（α）+βf（β）=2．…（5分）
（2）方法一：設α＜x₁＜x₂＜β，
則x₂-x₁＜0，且= …（7分）
由題設知，x₁²-mx₁-1＜0，x₂²-mx₂-1＜0，
∴（x₁²+x₂²）-m（x₁+x₂）-2＜0，
而2x₁x₂＜x₁²+x₂²，∴2x₁x₂-m（x₁+x₂）-2＜0 …（9分）
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x） 在區(qū)間（α，β） 上為增函數(shù)． …（10分）
方法二：∵，
∴，…（7分）
當x∈（α，β） 時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，…（9分）
從而f'（x）＞0，∴f（x） 在（α，β） 上為增函數(shù)．…（10分）
（3）∵λ，μ∈R₊ 且α＜β 
∴ 
，，
∴，…（12分）
由（Ⅱ）可知，
同理可得．    …（14分）
∴，
∴．    …（16分）
點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，及不等式的證明，其中（1）的關(guān)鍵是熟練掌握韋達定理，（2）的關(guān)鍵是判斷差的符號，（3）的關(guān)鍵是判斷出，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的應用．