Question

設關于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α，β，且α＜β．定義函數f(x)=

2x-m

x2+1

（1）當α=-1，β=1時，判斷f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據韋達定理，由α=-1，β=1，可求出m值，進而求出函數f（x）的解析式，根據函數單調性的定義可得答案．
（2）由α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，根據韋達定理可得

α+β=m α•β=-1

，代入分別求出f（α），f（β）的值，進而可求αf（α）+βf（β）的值．

解答：解：（1）∵α=-1，β=1，
由韋達定理可得：m=α+β=0
∴f(x)=

2x

x2+1

------（2分）
設x₁＜x₂，
f(x2)-f(x1)=

2x2

x22+1

-

2x1

x12+1

=

2x2．(x12+1)-2x1(x22+1)

(x22+1)(x12+1)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(x22+1)(x12+1)

∵（x₂-x₁）＞0，
當x₂，x₁＞1時，（1-x₁x₂）＜0，此時f（x₂）-f（x₁）＜0，函數為減函數，
當-1＜x₂，x₁＜1時，（1-x₁x₂）＞0，此時f(x2)-f(x1)＞0，函數為增函數，
當x₂，x₁＜-1時，（1-x₁x₂）＜0，此時f(x2)-f(x1)＜0，函數為減函數，（9分）
（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，
∴

α+β=m α•β=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

，
同理f（β）=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=α•

1

α

+β•

1

β

=1+1=2．（13分）

點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，函數的單調性的判斷與證明，一元二次方程根與系數的關系（韋達定理），熟練掌握一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）是解答的關鍵．