Question

已知α，β∈R，直線

x

sinα+sinβ

+

y

sinα+cosβ

=1與

x

cosα+sinβ

+

y

cosα+cosβ

=1的交點在直線y=-x上，則sinα+cosα+sinβ+cosβ=（　　）

A．0

B．1

C．-1

D．2

Answer 1

分析：設兩直線的交點為（x₀，-x₀），由題設條件知：sinα，cosα為方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的兩個根，即為方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的兩個根．由此能求出sinα+cosα+sinβ+cosβ的值．

解答：解：∵兩直線的交點在直線y=-x上，
∴設兩直線的交點為（x₀，-x₀），
由題設條件知：sinα，cosα為方程

x0

t+sinβ

+

-x0

t+cosβ

=1的兩個根，
即為方程t²+（cosβ+sinβ）t+sinβcosβ-x₀（cosβ-sinβ）=0的兩個根．
因此sinα+cosα=-（sinβ+cosβ），
∴sinα+cosα+sinβ+cosβ=0．
故選A．

點評：本題考查根與系數的關系的應用，具體涉及到直線方程、交點坐標、三角函數、韋達定理等基本知識點，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．