Question

(本題滿分12分)如圖，現在要在一塊半徑為1 m，圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在弧AB上，點Q在OA上，點M，N在OB上，設∠BOP＝θ，MNPQ的面積為S.

(1)求S關于θ的函數關系式；

(2)求S的最大值及相應θ的值．

Answer 1

(本題滿分12分)

(1)分別過點P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分別為D、E，則四             邊形QEDP是矩形．

PD＝sinθ，OD＝cosθ.

在Rt△OEQ中，∠AOB＝，

則OE＝QE＝PD…………………………………3分

所以MN＝PQ＝DE＝OD－OE＝cosθ－sinθ.

則S＝MN×PD＝(cosθ－sinθ)×sinθ

＝sinθcosθ－sin²θ，θ∈(0，)．……………………….3分

(2)S＝sin2θ－(1－cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ－＝sin(2θ＋)－……2分

因為0<θ<，所以<2θ＋<，

所以<sin(2θ＋)≤1. ………………………………………………………..2分

所以當2θ＋＝，即θ＝時，S的值最大為 m².

即S的最大值是 m²，相應θ的值是……………………………2分