Question

等比數(shù)列{c_n}滿足c_n+1+c_n=5•2^2n-1，n∈N^*，數(shù)列{a_n}滿足a_n=log₂c_n
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

an•an+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．求證：T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)c_n+1+c_n=5•2^2n-1求出公比q和首項，從而求出數(shù)列{c_n}的通項公式，即可求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列通項的特點可利用裂項求和法求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，從而可證得T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，建立等式關(guān)系，用m表示出n，再根據(jù)m∈N^*，m＞1，可求出所求．

解答：解（Ⅰ）∵c_n+1+c_n=5•2^2n-1，n∈N⁺，
∴c₁+c₂=10，c₂+c₃=q（c₁+c₂）=40，
∴公比q=4，
∵c₁+c₂=c₁+c_1^q=10，
解得c₁=2，
∴{c_n}的通項公式為c_n=2•4^n-1=2^2n-1，
∴a_n=log₂c_n=2n-1；
（Ⅱ）∵b_n=

1

an•an+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

），
∵n∈N^*，
∴

1

2n+1

＞0，∴T_n＜

1

2

；
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，
則(

m

2m+1

)2=

1

3

•

n

2n+1

，
∴

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
∵分子為正，
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
∵m∈N^*，m＞1，
∴m=2，n=12，
當且僅當m=2，n=12時，T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，等比關(guān)系的確定以及裂項求和法的應(yīng)用，同時考查了分析問題與解決問題的能力，屬于中檔題．