Question

等比數列{c_n}滿足的前n項和為S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）數列的前n項和，是否存在正整數m，（m＞1），使得T₁，T_m，T_6m成等比數列？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知結合等比數列的性質可求q=，然后利用已知遞推公式，令n=1可求c₁，從而可求c_n，進而可求a_n，由等差數列的求和公式可求s_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂項求和可求T_n，然后假設存在正整數m（m＞1）滿足題意，則由等比數列的 性質可建立關于m的方程，求解即可
解答：解：（Ⅰ）c₁+c₂=10，c₂+c₃=40，
所以公比q==4…（2分）
由c₂+c₁=c₁+4c₁=10得c₁=2
所以…（4分）
所以…（5分）
由等差數列的求和公式可得，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是…（8分）
假設存在正整數m（m＞1），使得T₁，T_m，T_6m成等比數列，
則，…（10分）
整理得4m²-7m-2=0，
解得或 m=2
由m∈N^*，m＞1，得m=2，
因此，存在正整數m=2，使得T₁，T_m，T_6m成等比數列    …（12分）
點評：本題主要考查了等比數列的性質及通項公式的求解，等差數列的求和公式及數列的裂項求和方法的應用．