Question

已知函數f（x）=α（cos²x+sinxcosx）+b
（1）當a＞0時，求f（x）的最小正周期和單調遞減區間
（2）當a＜0且x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域是[3，4]，求a，b的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,二倍角的正弦,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用二倍角的正弦公式，將函數解析式化為f（x）=

2 a

2

sin（2x+

π

4

）+

a

2

+b，進而根據正弦型函數的單調性和周期性，可得答案；
（2）x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，f（x）∈[

2 a

2

+

a

2

+b，b]=[3，4]進而可得a，b的值．

解答： 解：（1）f（x）=α（cos²x+sinxcosx）+b=

a

2

（2cos²x+2sinxcosx）+b=

a

2

（cos^₂x+sin2x+1）+b=

a

2

[

2

sin（2x+

π

4

）+1]+b=

2 a

2

sin（2x+

π

4

）+

a

2

+b，
∵ω=2，
故函數的最小正周期T=π，
又∵a＞0，由2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，（k∈Z）得：
x∈[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，（k∈Z）得：
故函數f（x）的遞減區間為[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，（k∈Z），
（2）當a＜0且x∈[0，

π

2

]，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
f（x）∈[

2 a

2

+

a

2

+b，b]=[3，4]
故a=2（

2

-1），b=3

點評：本題考查的知識點是正弦型函數的圖象和性質，二倍角的正余弦公式，難度不太大，屬于中檔題．