Question

S_n為等差數列{a_n}的前n項的和，已知S₁₅＞0，S₁₆＜0，記bn=

Sn

an

（n=1，2，…，15），若b_n最大，則n=

 

Answer 1

分析：由等差數列的前n項和的公式分別表示出S₁₅＞0，S₁₆＜0，然后再分別利用等差數列的性質得到a₈大于0且a₉小于0，得到此數列為遞減數列，前8項為正，9項及9項以后為負，由已知的不等式得到數列的前1項和，前2項的和，…，前15項的和為正，前16項的和，前17項的和，…，的和為負，所以得到b₉及以后的各項都為負，即可得到b₈為最大項，即可得到n的值．

解答：解：由S₁₅=

15(a1+a15)

2

=15a₈＞0，得到a₈＞0；由S₁₆=

16(a1+a16)

2

=8（a₈+a₉）＜0，得到a₉＜0，
∴等差數列{a_n}為遞減數列．
則a₁，a₂，…，a₈為正，a₉，a₁₀，…為負；S₁，S₂，…，S₁₅為正，S₁₆，S₁₇，…為負，
則

S9

a9

＜0，

S10

a10

＜0，…，

S15

a15

＜0，
又S₈＞S₁＞0，a₁＞a₈＞0，得到

S8

a8

＞

S1

a1

＞0，故b₈=

S8

a8

最大．
故答案為：8

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的前n項和的公式化簡求值，掌握等差數列的性質，是一道綜合題．