Question

（本題滿分14分）已知如圖，橢圓方程為.P為橢圓上的動點,

F₁、F₂為橢圓的兩焦點，當點P不在x軸上時，過F₁作∠F₁PF₂的外角
平分線的垂線F₁M,垂足為M，當點P在x軸上時，定義M與P重合．
（1）求M點的軌跡T的方程；（2）已知、，
試探究是否存在這樣的點：是軌跡T內部的整點
（平面內橫、縱坐標均為整數的點稱為整點），且△OEQ的面積？
若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

（1）當點P不在x軸上時，延長F₁M與F₂P的延長線相交
于點N,連結OM，∵, 
∴≌ ∴M是線段的中點，|----------2分
∴= ==
∵點P在橢圓上∴＝   ∴＝4，----------------------4分
當點P在x軸上時，M與P重合
∴M點的軌跡T的方程為：.----------------------6分
（2）連結OE，易知軌跡T上有兩個點
A，B滿足,
分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.
∵同底等高的兩個三角形的面積相等
∴符合條件的點均在直線、上.------ ----------7分
∵  ∴直線、的方程分別為：、-------------------8分
設點 （ ）∵在軌跡T內，∴--------------------------------9分
分別解與得 與 -------11分
∵∴為偶數，在上對應的
在上，對應的-----------13分
∴滿足條件的點存在，共有6個，它們的坐標分別為：
．------------14分