Question

三棱錐的三組相對的棱（相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱）分別相等，且長各為、m、n，其中m²+n²=6，則該三棱錐體積的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：三棱錐擴展為長方體，三棱錐的體積轉化為長方體的體積與四個三棱錐的體積的差，推出B不正確，則C不正確，通過特殊圖形說明D正確．
解答：解：如圖設長方體的三度為，a，b，c；所以
所求三棱錐的體積為：abc-4×=abc．
a²+b²=2，b²+c²=n²，a²+c²=m²，
所以2（a²+b²+c²）=n²+m²+2=8．
a²+b²+c²=4．
因為4≥，abc≤=此時a=b=c，與n²+m²=6，a²+b²=2，矛盾，所以選項B不正確；
則C不正確；
當底面三角形是等腰三角形時，m=n=，
不難求出三棱錐體積的最大值為：．
故選D．
點評：本題考查幾何體的體積的求法，擴展為長方體是解題的關鍵，考查基本不等式的應用，轉化思想與計算能力．