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三棱錐的三組相對的棱(相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱)分別相等,且長各為、m、n,其中m2+n2=6,則該三棱錐體積的最大值為( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:三棱錐擴展為長方體,三棱錐的體積轉化為長方體的體積與四個三棱錐的體積的差,推出B不正確,則C不正確,通過特殊圖形說明D正確.
解答:解:如圖設長方體的三度為,a,b,c;所以
所求三棱錐的體積為:abc-4×=abc.
a2+b2=2,b2+c2=n2,a2+c2=m2
所以2(a2+b2+c2)=n2+m2+2=8.
a2+b2+c2=4.
因為4≥,abc≤=此時a=b=c,與n2+m2=6,a2+b2=2,矛盾,所以選項B不正確;
則C不正確;
當底面三角形是等腰三角形時,m=n=
不難求出三棱錐體積的最大值為:
故選D.
點評:本題考查幾何體的體積的求法,擴展為長方體是解題的關鍵,考查基本不等式的應用,轉化思想與計算能力.
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2
、m、n,其中m2+n2=6,則該三棱錐體積的最大值為(  )

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A.              B.            C.             D.

 

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C.
D.

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三棱錐的三組相對的棱(相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱)分別相等,且長各為
2
、m、n,其中m2+n2=6,則該三棱錐體積的最大值為(  )
A.
1
2
B.
8
3
27
C.
3
3
D.
2
3

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