Question

已知⊙C與兩平行直線x-y=0及x-y-4=0都相切，且圓心C在直線x+y=0上，
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）斜率為2的直線l與⊙C相交于A，B兩點，O為坐標原點且滿足，求直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知⊙C的直徑為兩平行線 x-y=0及x-y-4=0之間的距離
∴解得，…（3分）
由圓心C（a，-a）到 x-y=0的距離得a=±1，檢驗得a=1…（6分）
∴⊙C的方程為（x-1）²+（y+1）²=2…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙C過原點，因為，則l經過圓心，…（9分）
直線l的斜率為：2，圓的圓心坐標（1，-1），
所以直線l的方程：2x-y-3=0…（13分）
（注：其它解法請參照給分．）
分析：（Ⅰ）利用平行線之間的距離求出圓的直徑，設出圓心坐標，利用圓心到直線的距離，求出圓心坐標，可得圓的方程．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，說明直線l經過圓的圓心，然后利用兩點式求出直線方程即可．
點評：本題考查圓的標準方程的求法，直線與圓的位置關系，考查計算能力與轉化思想的應用．