Question

已知⊙C與兩平行直線x-y=0及x-y-4=0都相切，且圓心C在直線x+y=0上，
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）斜率為2的直線l與⊙C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且滿足

OA

⊥

OB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平行線之間的距離求出圓的直徑，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線的距離，求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，說(shuō)明直線l經(jīng)過(guò)圓的圓心，然后利用兩點(diǎn)式求出直線方程即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意知⊙C的直徑為兩平行線 x-y=0及x-y-4=0之間的距離
∴d=2R=

|0-(-4)|

2

=2

2

解得R=

2

，…（3分）
由圓心C（a，-a）到 x-y=0的距離

|2a|

2

=R=

2

得a=±1，檢驗(yàn)得a=1…（6分）
∴⊙C的方程為（x-1）²+（y+1）²=2…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊙C過(guò)原點(diǎn)，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

OA

⊥

OB

，則l經(jīng)過(guò)圓心，…（9分）
直線l的斜率為：2，圓的圓心坐標(biāo)（1，-1），
所以直線l的方程：2x-y-3=0…（13分）
（注：其它解法請(qǐng)參照給分．）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．