Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點分別是A₁，A₂，M是雙曲線上任意一點，若直線MA₁，MA₂的斜率之積等于2，則該雙曲線的離心率是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線上一點，代入雙曲線的方程，A₁、A₂是雙曲線的左右頂點，直線MA₁與直線MA₂的斜率之積是2，求出直線MA₁與直線MA₂的斜率，然后整體代換，消去x₀，y₀，再由c²=a²+b²，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解；設M（x₀，y₀）（x₀≠±a）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一點，
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得到$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$，
故$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
又A₁（-a，0），A₂（a，0），
則k${\;}_{M{A}_{1}}$•k${\;}_{M{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=2，
及$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=2，
解之得e=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質，主要是離心率的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．