Question

【題目】設函數，．

（1）當時，求函數的單調區間和極值；

（2）設．對任意，都有，

求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由題已知，可得函數解析式，求函數的單調區間和極值。可先求函數的導數，令，為增區間，反之為減區間，再判斷出極值。

（2）由條件變形（聯想函數的單調性），然后構造函數，問題轉化為求在上單調遞減，得分段函數，需分情況討論，可得的取值范圍。

分別根據單調性和極值情況解出的值，最后取它們的并集得出。

試題解析：（1）當時，，定義域為，，

當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，

綜上，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

所以．

（2）由題意得，即，

若設，則在上單調遞減，

又

①當時，，，

在上恒成立，

設，則，當時，，

在上單調遞增，，∴．

②當時，，，

在上恒成立，

設，則，

即在上單調遞增，，∴． 綜上，由①②可得．