Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）令b_n=（-1）ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得a_n=4a_n-1-3（n-1）+1，則a_n-n=4a_n-1-4n+4=4[a_n-1-（n-1）]，即可證
（Ⅱ）由（I）可得，an=n+4n-1，利用分組求和，結(jié)合等差與等比數(shù)列的求和公式即可求解
（Ⅲ）由b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ[n+4^n-1]，利用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求

解答：（Ⅰ）證明：∵a₁=2，∴a₁-1=1
∵a_n+1=4a_n-3n+1，
∴a_n=4a_n-1-3（n-1）+1=4a_n-1-3n+4
∴a_n-n=4a_n-1-4n+4=4[a_n-1-（n-1）]
∴數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列
（Ⅱ）解：由（I）可得，an-n=4n-1
∴an=n+4n-1
Sn=(1+2+…+n)+(1+4+…+4n-1)
∴Sn=

n(n+1)

2

+

4n-1

3

（Ⅲ）解：∵b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ[n+4^n-1]
T2n=-(1+40)+（2+4）+…-（2n-1+4^2n-2）+（2n+4^2n-1）
=[-1+2-3+4+…-（2n-1）+2n]+（-1+4-4²+4³+…-4^2n-1+4²ⁿ）
=n+

1-(-4)2n

1-(-4)

×（-1）
∴T2n=n+

16n-1

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用構(gòu)造法證明等比數(shù)列，及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組求和方法的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．