Question

6．設函數φ（x）=a^2x-a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求函數φ（x）在[-2，2]上的最大值；
（2）當a=$\sqrt{2}$時，φ（x）≤t²-2mt+2對所有的x∈[-2，2]及m∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用指數函數的單調性，分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論，即可求得函數φ（x）在[-2，2]上的最大值；
（2）當a=$\sqrt{2}$時，φ（x）≤t²-2mt+2對所有的x∈[-2，2]及m∈[-1，1]恒成立??m∈[-1，1]，t²-2mt+2≥φ_max（x）=2恒成立，構造函數g（m）=-2tm+t²，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，解之即可得到實數m的取值范圍．

解答 解：（1）∵φ（x）=a^2x-a^x=（a^x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$（a＞0，a≠1），x∈[-2，2]，
∴當a＞1時，φ_max（x）=φ（2）=a⁴-a²；
當0＜a＜1時，φ_max（x）=φ（-2）=a^-4-a^-2；
∴φ_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}{-a}^{2}，a＞1}\\{{a}^{-4}{-a}^{-2}，0＜a＜1}\end{array}\right.$．
（2）當a=$\sqrt{2}$時，φ（x）=2^x-（$\sqrt{2}$）^x，
由（1）知，φ_max（x）=φ（2）=（$\sqrt{2}$）⁴-（$\sqrt{2}$）²=4-2=2，
∴φ（x）≤t²-2mt+2對所有的x∈[-2，2]及m∈[-1，1]恒成立
??m∈[-1，1]，t²-2mt+2≥φ_max（x）=2恒成立，即?m∈[-1，1]，t²-2mt≥0恒成立，
令g（m）=-2tm+t²，則$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+2t≥0}\\{{t}^{2}-2t≥0}\end{array}\right.$，解得：t≥2或t≤-2，或t=0．
∴實數m的取值范圍為：（-∞，2]∪{0}∪[2，+∞）．

點評 本題考查函數恒成立問題，突出考查指數函數與二次函數的單調性與最值，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于難題．