Question

19．函數y=sinxcosx+sinx+cosx（x∈R）的最大值是$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用換元法，轉化為二次函數問題，利用二次函數性質即可求最大值．

解答 解：函數y=sinxcosx+sinx+cosx．
令sinx+cosx=t，
由于sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，
∴$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$
則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
那么：函數y 轉化為g（t）=$\frac{1}{2}{t}^{2}+t-\frac{1}{2}$，（$-\sqrt{2}≤$t$≤\sqrt{2}$）
可知g（t）開口向上，對稱軸x=$-\frac{1}{4}$，
∴當$-\sqrt{2}≤$t$≤-\frac{1}{4}$上時，函數g（t）是單調遞減．
∴當$-\frac{1}{4}≤t≤\sqrt{2}$上時，函數g（t）是單調遞增．
∴g（$\sqrt{2}$）_max=$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

點評 本題考查了三角函數性質及化解能力，轉化思想和換元法．利用了二次函數的性質．屬于基礎題．