Question

設項數均為k（k≥2，k∈N^*）的數列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n項的和分別為S_n、T_n、U_n．已知：an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，且集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求數列{c_n}的通項公式；
（2）若k=4，求S₄和T₄的值，并寫出兩對符合題意的數列{a_n}、{b_n}；
（3）對于固定的k，求證：符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}）有偶數對．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，c₁=U₁=4；當n≥2時，易求c_n=U_n-U_n-1=2+2^n-1，從而可得數列{c_n}的通項公式；
（2）依題意，可求得S₄-T₄=20，S₄+T₄=72，從而可求得S₄和T₄的值，繼而可寫出兩對符合題意的數列{a_n}、{b_n}；
（3）令d_n=4k+2-b_n，e_n=4k+2-a_n（1≤n≤k，n∈N^*），可求得d_n-e_n=（4k+2-b_n）-（4k+2-a_n）=a_n-b_n=2n，結合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k}⇒數列對（{a_n}，{b_n}）與（{d_n}，{e_n}）成對出現，從而可證得結論．

解答：解：（1）n=1時，c₁=U₁=4，
當n≥2時，c_n=U_n-U_n-1=2n+2ⁿ-2（n-1）-2^n-1=2+2^n-1，
c₁=4不適合該式，
故c_n=

4，  n=1 2+2n-1，  2≤n≤k

，
（2）S₄-T₄=（a₁+a₂+a₃+a₄）-（b₁+b₂+b₃+b₄）
=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+（a₃-b₃）+（a₄-b₄）
=2+4+6+8=20，
又S₄+T₄=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（b₁+b₂+b₃+b₄）
=2+4+6+8+10+12+14+16
=72，
∴S₄=46，T₄=26；            
數列{a_n}、{b_n}可以為：
①16，10，8，12；14，6，2，4 ②14，6，10，16；12，2，4，8
③6，16，14，10；4，12，8，2 ④4，14，12，16；2，10，6，8
⑤4，12，16，14；2，8，10，6 ⑥16，8，12，10；14，4，6，2；    
（3）令d_n=4k+2-b_n，e_n=4k+2-a_n（1≤n≤k，n∈N^*），
d_n-e_n=（4k+2-b_n）-（4k+2-a_n）=a_n-b_n=2n；
又{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k}，
得{4k+2-a₁，4k+2-a₂，…，4k+2-a_k，4k+2-b₁，4k+2-b₂，…，4k+2-b_k}
={2，4，6，…，4k}；
∴數列對（{a_n}，{b_n}）與（{d_n}，{e_n}）成對出現． 
假設數列{a_n}與{d_n}相同，則由d₂=4k+2-b₂=a₂及a₂-b₂=4，得a₂=2k+3，b₂=2k-1，均為奇數，矛盾！
故符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}）有偶數對．

點評：本題考查數列的求和，著重考查構造函數思想，考查抽象思維與創新思維的綜合運用，屬于難題．