Question

設項數均為k（k≥2，k∈N^*）的數列{a_n}、{b_n}、{c_n}前n項的和分別為S_n、T_n、U_n．已知集合{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k-2，4k}．
（1）已知Un=2n+2n，求數列{c_n}的通項公式；
（2）若Sn-Tn=2n+2n（1≤n≤k，n∈N^*），試研究k=4和k≥6時是否存在符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}），并說明理由；
（3）若an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，對于固定的k，求證：符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}）有偶數對．

Answer 1

分析：（1）由Un=2n+2n，分別求出n=1時c₁的值和n≥2時數列{c_n}的通項，驗證c₁后寫出數列{c_n}的通項公式；
（2）由Sn-Tn=2n+2n，取n=1時得到a₁-b₁=S₁-T₁=4，寫出n≥2時的a_n-b_n，然后驗證n=4時存在符合條件的數列對，當n≥6時，借助于不等式放縮及二項式定理可說明不存在符合條件的數列對；
（3）令d_n=4k+2-b_n，e_n=4k+2-a_n（1≤n≤k，n∈N^*），易驗證a_n，b_n與d_n，c_n分別成對滿足條件an-bn=2n  (1≤n≤k， n∈N*)，當a_n與d_n交換時得到矛盾式子，說明符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}）有偶數對．

解答：解：（1）已知Un=2n+2n，
當n=1時，c₁=U₁=4．
當n≥2時，cn=Un-Un-1=2n+2n-2(n-1)-2n-1=2+2n-1，
經驗證c₁=4不適合上式，
故cn=

4，  n=1 2+2n-1，  2≤n≤k

；
（2）Sn-Tn=2n+2n，
當n=1時，a₁-b₁=S₁-T₁=4，
當n≥2時，a_n-b_n=（S_n-S_n-1）-（T_n-T_n-1）
=（S_n-T_n）-（S_n-1-T_n-1）=2n+2ⁿ-2（n-1）-2^n-1=2+2^n-1，
當k=4時，a₁-b₁=4，a₂-b₂=4，a₃-b₃=6，a₄-b₄=10，
{a₁，a₂，a₃，a₄，b₁，b₂，b₃，b₄}={2，4，6，8，10，12，14，16}
數列{a_n}、{b_n}可以為（不唯一）：
①6，12，16，14；2，8，10，4；
②16，10，8，14；12，6，2，4．
當k≥6時，ak=bk+2+2k-1＞2+2k-1=2+(1+1)k-1
=2+

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

+…+

C

k-2 k-1

+

C

k-1 k-1

≥2+2(

C

0 k-1

+

C

1 k-1

+

C

2 k-1

)=k2-k+4
=（k-1）（k-4）+4k＞4k
此時a_k不存在．故數列對（{a_n}，{b_n}）不存在；
（3）令d_n-e_n=（4k+2-b_n）-（4k+2-a_n）=a_n-b_n=2n，
又{a₁，a₂，…，a_k，b₁，b₂，…，b_k}={2，4，6，…，4k}，得
{4k+2-a₁，4k+2-a₂，…，4k+2-a_k，4k+2-b₁，4k+2-b₂，…，4k+2-b_k}
={2，4，6，…，4k}，
∴數列對（{a_n}，{b_n}）與（{d_n}，{e_n}）成對出現． 
假設數列{a_n}與{d_n}相同，則由d₂=4k+2-b₂=a₂及a₂-b₂=4，得
a₂=2k+3，b₂=2k-1，均為奇數，矛盾．
故符合條件的數列對（{a_n}，{b_n}）有偶數對．

點評：本題考查了數列遞推式，是性定義題，解答的關鍵是對題意的理解，屬有一定難度題目．