Question

已知F、E分別是拋物線Y²=4x的焦點及準線與x軸的交點，M是曲線C上的任意一點，且滿足||+||=4．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）過點（，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點．設=+，是否存在這樣的直線L，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線L的方程，若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（I）由題意知，點E，F的坐標分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，
又||+，
∴軌跡C是以E、F為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，b²=3，
∴軌跡C的方程為．
（II）假設存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，
∵直線l過點（），當直線l⊥x軸時，其方程為，
此時l與橢圓的兩個交點為，∴，
∴OA與OB不垂直，∴不合題意．
故不存在這樣的直線L．
分析：（I）由題意知，點E，F的坐標分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，又||+，軌跡C是以E、F為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，由此能求出軌跡C的方程．
（II）假設存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，直線l過點（），當直線l⊥x軸時，其方程為，此時l與橢圓的兩個交點為，由，OA與OB不垂直，故不存在這樣的直線L．
點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．