Question

已知F、E分別是拋物線Y²=4x的焦點及準線與x軸的交點，M是曲線C上的任意一點，且滿足|

ME

|+|

MF

|=4．
（I）求點M的軌跡C的方程；
（II）過點（

3

2

，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點．設

OP

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線L，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線L的方程，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意知，點E，F的坐標分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，軌跡C是以E、F為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，由此能求出軌跡C的方程．
（II）假設存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，直線l過點（

3

2

，0），當直線l⊥x軸時，其方程為x=

3

2

，此時l與橢圓的兩個交點為A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，由

OA

•

OB

≠0，OA與OB不垂直，故不存在這樣的直線L．

解答：解：（I）由題意知，點E，F的坐標分別是（-1，0），（1，0），且|EF|=2，
又|

ME

|+|

MF

| =4＞2，
∴軌跡C是以E、F為焦點的橢圓，且2a=4，2c=2，
∴a=2，c=1，b²=3，
∴軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）假設存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，
∵直線l過點（

3

2

，0），當直線l⊥x軸時，其方程為x=

3

2

，
此時l與橢圓的兩個交點為A(

3

2

，

21

4

)  ，B(

3

2

，-

21

4

)，∴

OA

•

OB

≠0，
∴OA與OB不垂直，∴x=

3

2

不合題意．
當直線l不垂直于x軸時，設AB的方程為y=k（x-

3

2

），A（x₁，y₁），B坐標為（x₂，y₂）；
聯立y=k（x-

3

2

）與

x2

4

+

y2

3

=1可得，

x2

4

+

k2(x- 3 2 )2

3

=1，
若四邊形OAPB是矩形，必有x₁x₂+y₁y₂=0，
易得不存在k的值滿足，
故不存在這樣的直線L．

點評：本題考查直線 和圓錐曲線的位置關系的綜合運用，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．