Question

已知正整數指數函數f（x）的圖象經過點（3，27），
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f（5）；
（3）函數f（x）有最值嗎？若有，試求出；若無，說明原因．

Answer 1

分析：（1）設正整數指數函數為f（x）=a^x（x∈N₊），由函數f（x）的圖象經過點（3，27），求得a的值，可得函數f（x）的解析式．
（2）直接根據函數f（x）的解析式求得f（5）的值．
（3）由于f（x）的定義域為N₊，且在定義域上單調遞增，可得f（x）的最大值和最小值的情況．

解答：解：（1）設正整數指數函數為f（x）=a^x（a＞0，a≠1，x∈N₊），因為函數f（x）的圖象經過點（3，27），
所以f（3）=27，即a³=27，解得a=3，所以函數f（x）的解析式為f（x）=3^x（x∈N₊）．
（2）由f（x）=3^x（x∈N₊），可得f（5）=3⁵=243．
（3）∵f（x）的定義域為N₊，且在定義域上單調遞增，
∴f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）無最大值．

點評：本題主要考查指數函數的性質的綜合應用，用待定系數法求函數的解析式，利用函數的單調性求函數的最值，屬于中檔題．