Question

已知正整數(shù)指數(shù)函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，27），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求f（5）；
（3）函數(shù)f（x）有最值嗎？若有，試求出；若無，說明原因．

Answer 1

解：（1）設(shè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f（x）=a^x（a＞0，a≠1，x∈N₊），因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，27），
所以f（3）=27，即a³=27，解得a=3，所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3^x（x∈N₊）．
（2）由f（x）=3^x（x∈N₊），可得f（5）=3⁵=243．
（3）∵f（x）的定義域?yàn)镹₊，且在定義域上單調(diào)遞增，
∴f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）無最大值．
分析：（1）設(shè)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)為f（x）=a^x（x∈N₊），由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，27），求得a的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）直接根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求得f（5）的值．
（3）由于f（x）的定義域?yàn)镹₊，且在定義域上單調(diào)遞增，可得f（x）的最大值和最小值的情況．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．