Question

過點（1，0）直線l交拋物線y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，拋物線的頂點是O．
（ⅰ）證明：

OA

•

OB

為定值；
（ⅱ）若AB中點橫坐標為2，求AB的長度及l的方程．

Answer 1

分析：（ⅰ）利用直線l過點（1，0），可設直線l的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，利用韋達定理得關系式，再將向量用坐標表示，即可證得；
（ⅱ） 首先可知斜率存在，可設直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，根據AB中點橫坐標為2，可得方程

2(k2+2)

k2

=4，進而可求斜率，從而可求AB的長度及l的方程．

解答：證明：（ⅰ）設直線l的方程為x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4，∴x1x2=

y 2 1

4

•

y 2 2

4

=1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3為定值；
解：（ⅱ） l與X軸垂直時，AB中點橫坐標不為2，
設直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵AB中點橫坐標為2，∴

2(k2+2)

k2

=4，∴k=±

2

，
l的方程為y=±

2

(x-1)．
|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

=4+2=6，AB的長度為6．

點評：本題以拋物線為載體，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，有一定的綜合性．