Question

已知函數f（x）=3x²+（p+2）x+3，p為實數．
（1）若函數是偶函數，試求函數f（x）在區間[-1，3]上的值域；
（2）已知α：函數f（x）在區間[-

1

2

，+∞)上是增函數，β：方程f（x）=p有小于-2的實根．試問：α是β的什么條件（指出充分性和必要性）？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據函數y=f（x）是偶函數則f（-x）=f（x）恒成立，可求出p的值，根據二次函數的性質可求出函數的值域；
（2）先分別求出α與β中p的范圍，然后根據充要條件的判定方法進行判定即可．

解答：解：（1）由函數y=f（x）是偶函數，得：
f（-x）=3x²+（p+2）（-x）+3=3x²+（p+2）x+3=f（x）恒成立
∴p+2=0即p=-2 （2分）；
f（x）=3x²+3在x=0處取最小值3，在x=3處取最大值30
∴函數f（x）在區間[-1，3]上的值域為[3，30]．（2分）
（2）∵函數f（x）在區間[-

1

2

，+∞)上是增函數
∴-

p+2

6

＜-

1

2

即p≥1
∴α：p≥1；（2分）；
方程f（x）=p有小于-2的實根則△≥0，較小的根小于小于-2，則β：p＞

11

3

（4分）
 所以：α是β的必要非充分條件（2分）

點評：本題主要考查了函數奇偶性，以及函數的值域和充要條件的判定，屬于中檔題．