Question

（本小題12分）如圖：四棱錐P—ABCD中，底面ABCD

 

 

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.

（1）證明：無論點E在BC邊的何處，都有PE⊥AF;

（2）當BE等于何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°. 

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（1）證明詳見解析；（2）．

試題分析：（1）以A為原點，AD,AB,AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，求證 =0即可；（2）求出表示平面PDE的一個法向量的坐標，由向量的夾角公式和已知條件可得到一個方程，解之即可.

試題解析：解：(1) 建立如圖所示空間直角坐標系，

 

則P（0，0，1），B（0，1，0），

  設

∴AF⊥PE 

（2）設平面PDE的法向量為，由 得，而,

因為PA與平面PDE所成角的大小為45°，

所以sin45°=  ，即 ，得BE=x= ，

或BE=x=（舍去）.

考點：1.向量數量積的性質；2.向量夾角公式的應用.